De Pitágoras a Wiles

Como demonstrar hipóteses que parecem verdadeiras?

Existem números inteiros tais que x2 + y2 = z2 existe?

Tais que xn + yn = zn para n superior a 2?

Os Gregos foram os primeiros a tentar resolver tais problemas. Assim, Pitágoras deu o seu nome ao teorema sobre “ O Quadrado da Hipotenusa” do qual Euclides forneceu a mais antiga prova conhecida.
Fermat formulou no século XVII a hipótese de que não era possível generalizar este resultado.
Wiles demonstrou essa conjectura em 1994. Para isso utilizou os resultados das pesquisas mais recentes em vários domínios da matemática.

Pierre de Fermat (1601-1665)

Andrew Wiles(Cambridge, 1953)

Verdadeiro mas Indemostrável!

Podemos sempre demonstrar qualquer coisa que sabemos ser verdadeira?

Em 1931, Kurt Gödel, numa verdadeira revolução, respondeu pela negativa com seu famoso Teorema chamado da "incompletude".

Ele provou que as duas noções de de verdade e demonstrabilidade não coincidem, descobrindo uma fórmula sobre os números inteiros que é verdadeira mas indemonstrável em aritmética elementar.

Mais surpreendente ainda, Gödel também mostrou, no mesmo espírito, que em aritmética não se pode refutar nem demonstrar que nunca se chegará em uma contradição. Além disso, a aritmética elementar é "indecidível". Isso significa que, por exemplo, que é impossível escrever um programa informático que verifique se uma fórmula sobre números inteiros é verdadeira ou não.

Kurt Gödel (1906 - 1978)

Quadrado + Quadrado = Quadrado!


Faça um quadrado com 4 peças não quadradas. Depois construa outro quadrado com 5 peças.

Dois Quadrados podem ser recortados para transformar um único quadrado maior. É o princípio deste quebra - cabeça.

Qualquer polígono pode ser recortado de modo a formar outro polígono de mesma área. O problema é mais difícil com volumes iguais.

Com 2 quebra - cabeças deste tipo, poderia fazer um quadrado duas vezes maior?
Tente fazê-lo em casa!

Tudo em órbita!

Como podemos descrever as orbitas de planetas ou satélites naturais ou artificiais? Kepler mostrou que estas órbitas são cônicas: elipses, parábolas, hipérboles. Os cometas que reaparecem periodicamente têm também órbitas elípticas. Um satélite pode escapar do sistema solar e deixar a sua órbita elíptica e começar a movimentar-se ao longo de uma trajetória hiperbólica. Colocar satélites em órbita em torno da Terra ou de outro planeta, conseguir “arrancá-los” da atração terrestre ou guiar sondas em viagens interplanetárias é um trabalho muito complicado, consumidor de imensos cálculos e de matemática de ponta. Os matemáticos usam ferramentas desenvolvidas há muito tempo, lei de Newton(1687), método de Lagrange(1755) ou de Gauss(1801)...mas também resultados recentes das teorias do Controle Óptimo, da Relatividade e do Caos Determinístico.

O mundo é fractal?

Como podemos representar a forma de um rio sinuoso ou de uma costa muito recostada? A forma de uma nuvem ou de uma chama? Podemos determinar a dimensão das galáxias no universo?
Observamos com cuidado uma folha de feto vemos que ela é construída repetindo o mesmo motivo em escalas que vão decrescendo. Este tipo de estrutura que aparece freqüentemente na natureza levou os matemáticos Benoit e Mandelbrot a desenvolverem a geometria fractal.